理想气体状态方程\(pV = nRT = Nk_BT\)想必大家已经非常熟悉了。下面记一下如何从统计力学的角度推出理想气体状态方程。

系综

一定条件下体系可能存在的状态的集合称之为ensemble（系综），是系统状态的概率分布，可与概率空间进行类比。

canonical ensemble（正则系综） 可与大热源交换能量的体系集合，各体系具有相同温度

grand canonical ensemble（巨正则系综） 可与大热源交换能量和与大粒子源交换粒子的体系集合，各体系具有相同的温度和化学势

microcanonical ensemble（微正则系综） 能量和粒子守恒的孤立系统，各体系状态等概率

相空间

一个包含\(N\)个粒子的系统具有\(6N\)的自由度，其中由位置\(\mathbb Q\)组成的\(3N\)维空间称之为configuration space（构形空间），由动量\(\mathbb P\)组成的\(3N\)维空间称之为momentum space（动量空间）,由\((\mathbb P, \mathbb Q)\)组成的\(6N\)维空间称之为phase space（相空间）。

Heaviside函数

Heaviside函数，也称为阶跃函数，其定义为： \[ \Theta(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0 \\ 0, & x \lt 0 \end{cases} \]

当\(\Theta\)函数作用于一个检验函数\(\psi(x)\)时，等于如下积分：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \Theta(x) \psi(x) dx = \int_0^{+\infty} \psi(x) dx \]

另外

相空间体积

对于能量处于\((E, \delta E)\)的系统，相空间的体积可由下面的积分给出：

\[ \Omega(E) \delta E = \int_{E<\mathcal H (\mathbb P, \mathbb Q) < E+\delta E} d\mathbb P d\mathbb Q \]

理想气体状态方程

\[ \Omega(E) = V^N \cdot \frac{ \frac{3N}{2E} \pi^{\frac{3N}{2}} (2mE)^{3N} }{ (\frac{3N}{2})! } \] \[ S = k_B ln\Omega(E) \] \[ \frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E}|_{V, N} \] \[ \frac{p}{T} = \frac{\partial S}{\partial V}|_{E, N} \] \[ pV = Nk_BT \]