鞍点法近似(saddle point approximation)，又称为stationary phase approximation，用于计算下列积分在\(N \to \infty\)时的渐进行为。

\[ I(N) = \int_C e^{Nf(x)} dx \]

其中涉及到复变函数的一些基本性质。

复数及复变函数性质

复变量\(z\)在复平面可表示为\(z = x+yi\)，其复变函数可表示为\(f(z) = u + vi\)，其中\(u = u(x, y)， v = v(x, y)\)。

另外也可以用极坐标来表示：\(z = |z|e^{i \phi}\)，其中\(\phi\)决定了复变量的方向。

当\(f(z)\)在区域内处处可导，则称\(f(z)\)为该区域内解析。而解析函数的充要条件为函数\(f(z)\)在该区域内连续，同时满足C-R条件(Cauchy-Riemann condition)。

C-R条件

复变函数\(f(z)\)的极限存在的必要条件之一为与\(z\)逼近极限的路径无关，所以我们可以考虑分别从实轴和虚轴去逼近函数极限来求\(f(z)\)的导数。

从实轴求导：\(z+\Delta z = (x+\Delta x) + yi\) \[ \begin{aligned} f'(z) &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u + \Delta vi}{\Delta x} \\ &= u_x + v_xi \end{aligned} \]

从虚轴求导：\(z+\Delta z = x+(y+\Delta y)i\) \[ \begin{aligned} f'(z) &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \\ &= \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta u + \Delta vi}{\Delta yi} \\ &= v_y - u_yi \end{aligned} \]

比较\((1)\)和\((2)\)，我们就可以得到可导函数的Cauchy-Riemann条件： \[ \begin{cases} u_x = v_y \\ u_y = -v_x \end{cases} \]

调和性

满足解析条件的复变函数\(f(z)\)，其实部函数\(u(x, y)\)和虚部函数\(v(x, y)\)具有调和性（Harmonicity）:

\[ \nabla^2 u = \nabla^2 v = 0 \]

根据C-R定理：

\[ \begin{aligned} \nabla^2 u &= \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} \\ &= \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y} \\ &= v_{yx} - v_{xy} \\ &= 0 \end{aligned} \]

对于\(v\)同理可证。

根据调和性，我们可以知道函数的实部\(u(x,y)\)在两个方向上的二阶导数是异号（如果不为0的话）的，这表明了鞍点的存在。

鞍点近似法

对于积分\(I = \int e^{Nf(z)} dz\)，要求\(f(z) = u + vi\)为解析复变函数，根据解析函数的调和性，\(f(z)\)有鞍点\(z_0\)。我们将积分路径\(C\)变为\(C'\)，使其沿一个固定幅角\(\phi\)经过\(z_0\)。

由于\(f(z)\)在指数函数上，因此可以想象，当\(N\)极大时，在鞍点\(z_0\)附近，\(e^{Nf(z)}\)的图像非常陡峭，因此该函数的积分主要由\(z_0\)的邻域所贡献。

将\(f(z)\)在\(z_0\)处进行Tayler展开，于是积分\(I\)变为：

\[ I = e^{Nf(z_0)} \int_{C'} e^{\frac{1}{2} N f''(z_0)(z-z_0)^2} dz \]

然后我们将复变量\((z-z_0)\)和\(f''(z_0)\)均用极坐标来表示：

\[ z-z_0 = re^{i\phi} \] \[ f''(z_0) = |f''(z_0)|e^{i\theta} \]

于是上述积分变为：

\[ I = e^{Nf(z_0)} \int_{C'} e^{\frac{1}{2} N |f''(z_0)| r^2 e^{i(\theta+2\phi)}} e^{i\phi} dr \]

被积函数中\(e^{i(\theta+2\phi)} = \cos(\theta+2\phi)+i\sin(\theta+2\phi)\)，可知当\(\theta+2\phi = \pi\)时，上述积分变为一个Gauss积分，于是最终得到积分近似：

\[ I = \int_C e^{Nf(z)}dz \approx e^{Nf(z_0)+i\phi}\cdot\sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(z_0)|}} \]

其中\(\phi = \frac{\pi}{2}-\frac{arg(f''(z_0))}{2}\)

Stirling近似

\[ \Gamma(x) = \int_0^\infty e^{-t}t^{x-1} dt \]

当\(x >> 1\)时，可使用鞍点近似。首先将\(\Gamma(x)\)变为\(\int e^{xf(t)} dt\)的形式：

\[ \Gamma(x+1) = \int_0^{\infty} e^{xlnt-t} dt \]

令\(t = xs\)，有：

\[ \Gamma(x+1) = x \int_0^{\infty} e^{xlnx+x(lns-s)} ds \]

因为有\(\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)\)，所以：

\[ \Gamma(x) = x^x \int_0^{\infty} e^{x(lns-s)} ds \]

考虑复平面上的积分\(I = \int e^{x(lnz-z)} dz\)，其中\(f(z) = lnz-z\)，\(z_0 = 1\)，\(f(z_0) = -1\)，\(f''(z_0) = -1\)，\(arg(f''(z_0)) = \pi\)，故积分路径的幅角\(\theta = 0\)，恰好为沿着正实轴。

代入近似公式，得：

\[ \Gamma(x) \approx x^x e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} = x^{x-\frac{1}{2}}e^{-x}\sqrt{2\pi} \]