量子力学基础

物质波为概率波，将单色平面波写为如下形式：

\[ \psi(r, t) = \frac{1}{ (2\pi \hbar)^{3/2} } e^{i/\hbar(p \cdot r - Et)} \]

方便之后归一化为\(\delta\)函数。其振幅的平方\(|\psi(r,t)|^2\)对应于粒子坐标的概率密度，因此对于粒子的平均位置\(<r>\)可以从下式求出：

\[ <r> = \int r |\psi(r, t)|^2 dr = \int \psi^*(r, t) r \psi(r, t) dr \]

动量算符

根据波函数的叠加性和Fourier变换，我们可以得到波函数的两种变换形式(\(r\)和\(p\)均为三维矢量)：

\[ \psi(r, t) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \phi(p, t)e^{i/\hbar p \cdot r} dp \]

\[ \phi(p, t) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \psi(r, t)e^{-i/\hbar p \cdot r} dr \]

其中\(|\phi(p, t)|^2\)为粒子动量\(p\)的概率密度分布，所以我们可以得到平均动量\(<p>\)：

\[ \begin{aligned} <p> &= \int p |\phi(p)|^2 dp \\ &= \int \phi(p,t)p dp \left[ \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}}\int \psi^*(r, t) e^{i/\hbar p \cdot r} dr \right] \\ &= \int \psi^*(r, t) dr \left[ \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}}\int p \phi(p, t) e^{i/\hbar p \cdot r} dp \right] \\ &= \int \psi^*(r, t) dr \left[ \frac{1}{((2 \pi \hbar)^{3/2}}\int \phi(p, t) (-i \hbar \nabla e^{i/\hbar p \cdot r}) dp \right] \\ &= \int \psi^*(r, t) dr (-i \hbar \nabla ) \left[ \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \phi(p,t) e^{i/\hbar p \cdot r} dp \right] \\ &= \int \psi^*(r, t) (-i \hbar \nabla ) \psi(r, t) dr \\ \end{aligned} \]

由此我们可以得到动量的算符表达式。类似的，动能\(T = p^2/2m\)，角动量\(L = r \times p\)，我们可以得到动能\(T\)和角动量\(L\)的算符表达式：

\[ \begin{aligned} \hat r &= r \\ \hat p &= -i \hbar \nabla \\ \hat T &= -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \\ \hat L &= -i\hbar \hat r \times \nabla \\ \end{aligned} \]

不确定关系

不确定关系来源于Fourier变换，是Fourier变换的内禀性质，与测量与否无关，与函数的具体形式无关。

假设函数\(f(x)\)存在Fourier变换，考虑积分：

\[ I = \int |\eta x f(x) + f'(x)|^2 dx \ge 0 \]

其中积分符号内的式子等于：

\[ \begin{aligned} |\eta x f(x) + f'(x)|^2 &= [\eta x f(x) + f'(x)][\eta x f(x) + f'(x)]^* \\ &= \eta^2 x^2 |f(x)|^2 + \eta x [f(x)f'^*(x)+f^*(x)f'(x)] + |f'(x)|^2 \\ \end{aligned} \]

所以\(I\)可以分为三个部分\(I_1, I_2, I_3\)：

\[ \begin{aligned} I &= I_1+I_2+I_3 \\ I_1 &= \eta^2 \int x^2 |f(x)|^2 dx \\ I_2 &= \eta \int x [f(x)f'^*(x)+f^*(x)f'(x)] dx \\ I_3 &= \int |f'(x)|^2 dx \\ \end{aligned} \]

对于\(I_1\)，\(\int x^2 |f(x)|^2 dx\)归一化后即为\(\Delta x^2\)。

对于\(I_2\)：

\[ \begin{aligned} I_2 &= \eta \int x [f(x)f^*(x)]'dx \\ &= \eta \int x d|f(x)|^2 \\ &= \eta \left( x|f(x)|^2|_{-\infty}^{+\infty} - \int |f(x)|^2 dx \right) \\ &= - \eta \int |f(x)|^2 dx \\ \end{aligned} \]

因为积分\(\int x |f(x)|^2 dx\)，也就是x的期望存在，所以\(x|f(x)|^2\)在\(x \to \infty\)时一定为0，否则积分不收敛。

对于\(I_3\)：

\[ \begin{aligned} I_3 &= \int \left( \frac{1}{2\pi} \int i \omega' g(\omega') e^{i \omega' x} d\omega' \right) \left( \frac{1}{2\pi} \int (-i) \omega g^*(\omega) e^{-i \omega x} d\omega \right) dx \\ &= \frac{1}{4\pi^2} \iiint \omega \omega' g(\omega)g^*(\omega') e^{i(\omega' - \omega)x} dx d\omega d\omega' \\ &= \frac{1}{2\pi} \iint \omega \omega' g(\omega) g^*(\omega') \delta(\omega' - \omega) d\omega d\omega' \\ &= \frac{1}{2\pi} \int \omega^2 |g(\omega)|^2 d\omega \\ \end{aligned} \]

所以\(I_3 \sim \Delta \omega^2\)。根据Parseval定理：\(\int |f(x)|^2 dx = \frac{1}{2\pi} \int |g(\omega)|^2 d\omega\)，对\(I\)同时除以\(\int |f(x)|^2 dx\)，可得：

\[ \eta^2 \Delta x^2 - \eta + \Delta \omega^2 \ge 0 \]

上式是关于\(\eta\)的二次函数，其二阶导数\(2 \Delta x^2 \ge 0\)，所以当\(\eta = \frac{1}{2 \Delta x^2}\)时，函数取最小值，代入上式得：

\[ \Delta \omega^2 - \frac{1}{4 \Delta x^2} \ge 0 \] \[ \Delta x \Delta \omega \ge \frac{1}{2} \]

将动量和波数的色散关系\(p = \hbar \omega\)代入，可得量子力学中的不确定性原理表达式： \[ \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} \]

相空间最小单元

相空间中的一个点用于表示系统所处的一个状态，对于力学系统通常用三维方位和三维动量来表示，如果系统中有\(N\)个粒子，则相空间为\(6N\)维。根据不确定关系，方位和动量不可同时确定，所以相空间有最小单元体积：\(\hbar^3\)。