最近学到统计力学中熵的微观含义，恶补了一顿量子力学。起因是在统计力学中，熵\(S\)和相空间\(\Gamma\)的体积有关：

\[ S = k_Bln(|\Gamma|) \]

根据热力学第三定律（Nernst假设），温度趋于绝对零度时，任何系统的熵为0。所以热力学第三定律应该同时也规定了描述相空间体积的单位，否则当改变\(\Gamma\)的体积单位时，会在\(S\)加上一个常数，熵就不再为0了，与热力学第三定律矛盾。下面分为三篇，分别记录Fourier变换与Dirac函数、波函数以及相空间的内容。

Fourier变换与逆变换

Fourier变换将目标函数\(f(t)\)变为周期为\(T/n\)的正余弦函数的线性组合。

三角函数形式的Fourier级数：

\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t) \]

根据三角函数在周期区间内积分的正交性：

\[ \begin{aligned} &\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos (nt) dt = 0 \\ &\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin (nt) dt = 0 \\ &\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos (nt) \sin (mt) dt = 0 \\ &\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos (nt) \cos (mt) dt = \begin{cases} \frac{T}{2} & (n = m) \\ 0 & (n \neq m) \\ \end{cases} \\ &\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin (nt) \sin (mt) dt = \begin{cases} \frac{T}{2} & (n = m) \\ 0 & (n \neq m) \\ \end{cases} \\ \end{aligned} \]

我们在Fourier级数的两边同时对\(t\)积分：

\[ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt = \frac{T}{2}a_0 \]

所以

\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt \]

然后我们在Fourier级数的两边同时乘上\(\cos (n \omega t)\)，再同时对\(t\)积分，可得到：

\[ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos (n \omega t) dt = \frac{T}{2} a_n \]

同理，乘上\(\sin (n \omega t)\)，积分后可得到：

\[ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin (n \omega t) dt = \frac{T}{2} b_n \]

整理之后，我们就可以得到Fourier级数展开的系数项：

\[ \begin{aligned} a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos (n \omega t) dt \\ b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin (n \omega t) dt \\ \end{aligned} \]

其中\(a_n\)为偶函数，\(b_n\)为奇函数。

指数函数形式的Fourier级数

根据Euler公式：\(e^{ikx} = \cos kx + i\sin kx\)，所以三角函数可以表达为：

\[ \begin{aligned} \cos (n \omega t) &= \frac{1}{2} (e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}) \\ \sin (n \omega t) &= \frac{1}{2i} (e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}) \\ \end{aligned} \]

代入Fourier级数的表达式，合并指数项，并根据\(a_n\)和\(b_n\)的奇偶性，可得指数形式的Fourier级数：

\[ \begin{aligned} f(t) &= \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n-i b_n}{2}e^{i n \omega t}+\frac{a_n+i b_n}{2}e^{-i n \omega t} \\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F(n \omega) e^{i n \omega t} \\ \end{aligned} \]

注意两个求和符号中\(n\)的取值范围，其中\(F(n \omega) = \frac{a_n-ib_n}{2}\)为指前因子。将\(a_n\)和\(b_n\)的表达式代入，得：

\[ \begin{aligned} F(n \omega) &= \frac{1}{2}\left[ \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos (n \omega t) dt - \frac{2i}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin (n \omega t) dt \right] \\ &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i n \omega t} dt \\ \end{aligned} \]

Fourier积分变换

因为周期\(T\)与角频率\(\omega\)满足关系：\(T \omega = 2 \pi\)，当\(T \to +\infty\)时，\(\omega \to 0\)。

对无穷小量的求和满足如下关系：

\[ \sum_{-\infty}^{+\infty} f(n \delta x) = \frac{1}{\delta x} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx \]

于是上文的指数形式的Fourier级数，可以扩展为积分形式：

\[ \begin{aligned} f(t) &= \sum_{-\infty}^{+\infty} F(n \omega) e^{i n \omega t} \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{F(\omega)}{\omega} e^{i \omega t} d\omega \\ \end{aligned} \]

其中令\(g(\omega) = \frac{F(\omega)}{\omega}\)。

根据上面\(F(n \omega) = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i n \omega t} dt\)，将 \(\omega\) 记为 \(\omega'\)，根据\(T\omega' = 2\pi\)，可得：

\[ \frac{F(\omega')}{\omega'} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i \omega' t} dt \]

当\(\omega' \to 0\)时，有：

\[ g(\omega') = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega' t} dt \]

整理一下，我们就得到了可析函数f(t)的Fourier变换与逆变换：

\[ \begin{aligned} g(\omega) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt \\ f(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} g(\omega) e^{i \omega t} d\omega \\ \end{aligned} \]

或改变一下函数前面的系数：

\[ \begin{aligned} g(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt \\ f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} g(\omega) e^{i \omega t} d\omega \\ \end{aligned} \]

因为频率\(f\)与角频率\(\omega\)满足关系：\(\omega = 2 \pi f\)，所以上式可以改写为：

\[ \begin{aligned} g(f) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i 2 \pi f t} dt \\ f(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty} g(f) e^{i 2 \pi f t} df \\ \end{aligned} \]

物理上更多地使用如下形式：

\[ \begin{aligned} g(\omega) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt \\ f(t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} g(\omega) e^{i \omega t} d\omega \\ \end{aligned} \]

Dirac函数

Dirac函数为一种广义函数，定义为：

\[ \delta(x) = \begin{cases} +\infty & (x = 0) \\ 0 & (x \neq 0) \\ \end{cases} \]

并且满足\(\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)dx = 1\)。

Dirac函数的性质：

\[ \int f(x)\delta(x-a)dx = f(a) \]

称之为Dirac函数的挑选性。根据挑选性，我们对Dirac函数进行Fourier变换：

\[ \mathscr F[\delta(x)] = \frac{1}{2\pi} \int\delta(x) e^{-i k x} dx = \frac{1}{2\pi} \]

再进行Fourier逆变换，我们就可以得到\(\delta\)函数的表达式之一：

\[ \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int e^{i k x} dk \]